贝叶斯滤波与卡尔曼滤波

「贝叶斯滤波用似然 × 先验求最大后验MAP」和「卡尔曼滤波用联合高斯分布求条件后验」不是两种不同的估计思路而是线性高斯假设下同一个贝叶斯推断的两种等价实现方式。贝叶斯滤波在理论上非常完美融合了全概率公式与贝叶斯推断但它是一个包含了无穷积分的连续函数表达。在实际工程和计算机中我们不可能遍历连续空间去硬算积分维度灾难。卡尔曼滤波没有推翻贝叶斯框架而是给贝叶斯滤波加了两个极强的、但在工程中可近似满足的约束直接解决了上面的 “无解困境”1.线性系统假设运动方程和观测方程都是线性的2.全链路高斯假设初始状态、过程噪声、观测噪声全部服从零均值高斯分布这两个假设带来了一个颠覆性的数学特权高斯分布在线性变换下是闭合的。只要初始状态是高斯的经过线性运动方程传播的先验分布、观测方程对应的似然分布、最终的后验分布全都是高斯分布。而一个高斯分布完全由它的均值μ和协方差矩阵Σ两个量决定 —— 我们不需要求解整个复杂的概率密度函数只需要递推这两个矩阵就能完全确定后验分布。此时便可以用联合高斯分布求条件分布。利用联合高斯分布的核心性质若两个随机变量x和y服从联合高斯分布则它们的条件分布p(x∣y)仍然是高斯分布且可以通过联合协方差矩阵的舒尔补直接写出闭式解无需任何配方。步骤1构造和的联合高斯分布因为​是高斯的​是的线性变换加高斯噪声所以二者必然是联合高斯的。我们先求联合分布的均值和协方差联合均值联合协方差矩阵步骤 2直接套用联合高斯条件分布的闭式解步骤 3代入参数直接得到结果后验均值其中就是卡尔曼增益。后验协方差最终总结贝叶斯滤波是通用底层框架它的核心是贝叶斯公式目标是求解后验分布适用于所有系统但通用场景下没有闭式解只能近似求解或求点估计。卡尔曼滤波是贝叶斯滤波在线性高斯场景下的 “最优闭式实现”它没有抛弃贝叶斯框架而是通过线性 高斯的假设让后验分布有了闭式解。两种方法的等价性用联合高斯求条件分布本质是贝叶斯公式在高斯场景下的 “数学捷径”—— 它避开了繁琐的指数配方直接用已经证明的舒尔补结论得到了和贝叶斯公式硬算完全相同的结果。