新晋神作 | 一本人生回报率500%的科普神作！

“我们想象的方式决定了我们的命运。一些方式会让我们变得愚蠢另一些方式会让我们变得疯狂。还有一些方式拥有让我们变得聪明无比的力量。”“数学创造是在想象力看到事物与语言表达将看到的事物写下来之间不断循环往复的过程。这一过程同时改变了我们的直觉和语言。我们在学会看的同时也学会了说话。我们学会了想象新事物并发明了一种语言来命名它们。”以上内容出自戴维·贝西David Bessis所著的《数学觉醒学会更清晰地思考》这本书揭示了数学思维才是高级“软实力”全书几乎不用任何一个公式做到深入浅出的语言进而让人人都能具备清晰思考的能力。也因此这本书一上市就成为打动全球数学家和“学霸”的奇书。数学家菲尔兹奖得主陶哲轩和雨果·杜米尼-科潘都给予了高度评价。更是在微信读书上晋升到神作榜单或许我们可以从格罗滕迪克的故事中看到一些作者的思想。来源 | 《数学觉醒学会更清晰地思考》作者 | [法]戴维·贝西David Bessis译者 | 赵晓蕊孩童的姿态“亲爱的塞尔感谢你的来信谢谢你慷慨地寄给我这么多论文。我这儿没什么新鲜事。我已经完成了关于同调代数的荒谬文章。”1956年11月13日亚历山大·格罗滕迪克Alexander Grothendieck在给让-皮埃尔·塞尔Jean-Pierre Serre的一封信的开头如此写道。如果你知道了塞尔和格罗滕迪克是谁以及这封信的内容是什么信中轻描淡写的语气会更令你惊讶。让-皮埃尔·塞尔是 20 世纪最伟大的数学家之一。虽说一个人的职业生涯不能完全以荣誉来衡量但如果他赢得了所有荣誉那就充分说明问题了。塞尔于1954年获得菲尔兹奖那年他才27岁至今仍保持着最年轻获奖者纪录。菲尔兹奖只颁发给40岁以下的数学家在很长一段时间内数学界都没有相当于终身成就奖的荣誉。为此挪威政府2003年设立了阿贝尔奖。那一年评奖委员会肩负着一个重大责任在所有在世的数学家中选出首位获奖者。最终委员会决定将阿贝尔奖授予塞尔。至于格罗滕迪克图 7.1他不仅仅是一位伟大的数学家。他于2014 年去世但在他去世的很早之前他就已经成了传奇。格罗滕迪克是历史上极为罕见的数学家之一他的贡献不仅在于深刻的结果或壮观的理论他发明了一种理解数学的方法这种方法新颖而丰富似乎改变了数学的本质。正因如此他通常被视为 20 世纪最伟大的数学家——如果这种称号有意义的话。图7.1。格罗滕迪克1928年3月28日-2014年11月13日至于“关于同调代数的荒谬文章”它指的是 1957 年发表于日本学术期刊《东北数学杂志》Tohoku Mathematical Journal上的《同调代数中的一些要点》“Sur quelques points d’algèbre homologique”。这篇文章标志着格罗滕迪克开始涉足日后让他声名远扬的研究领域。在塞尔的影响下格罗滕迪克刚刚投身于代数几何。这两位年轻人结下了数学史上成果最为丰硕的友谊。格罗滕迪克后来谈起他与代数几何的初次相遇说他感到“突然发现自己身处一片富饶的‘应许之地’”。格罗滕迪克用了15年来探索这片“应许之地”。写作是他的方法的核心。他甚至说“研究数学最重要的就是写作”。这种对写作的热情使他写给塞尔的信更令人费解。因为那篇“荒谬文章”是格罗滕迪克在这片“应许之地”的第一个冒险故事。他觉得花上一年完成这篇荒谬的文章不算什么大事。他明明刚完成一篇历史性的论文却说“我这儿没什么新鲜事”。他在开玩笑吗多半并非如此。在2018年的一次采访中塞尔回忆起格罗滕迪克的一个特点——毫无幽默感“我不记得听他笑过。你永远不能和他开玩笑比如开数学的玩笑。”在这个看似矛盾的现象背后隐藏着关于数学工作本质的深刻真理。格罗滕迪克的超脱和随意似乎让人难以理解但随着对他的思维方式了解更加深入你就会意识到他的所作所为是完全自洽的。过分的玩笑几乎人人都知道爱因斯坦是谁但听说过格罗滕迪克的人少之又少。这种比较并不荒谬。爱因斯坦彻底颠覆了物理学家对空间的观念格罗滕迪克则彻底颠覆了数学家对空间的观念。他甚至重新发明了点的概念并从几何的角度探讨了真理的概念。一些数学家甚至认为将格罗滕迪克与爱因斯坦相提并论对格罗滕迪克不公平。在他们看来爱因斯坦的作品美丽、优雅、辉煌、令人钦佩简直是天才的杰作而格罗滕迪克的成果非凡、惊人、卓越、可怕不可能出自人类之手。格罗滕迪克的想法并不总是容易理解的若是理解了其中一部分你就会惊叹于竟然有人能产生这样的想法。塞尔直言自己无法完成这样的工作因为“这需要巨大的力量”。在回忆起格罗滕迪克时塞尔谈到了“头脑的力量”并描述了一种超自然的力量“无论在体力上还是智力上他都极不寻常。我从没见过像他这样力量强大的人。我见过智力超群的人但格罗滕迪克拥有一种野兽般的力量。”然而格罗滕迪克本人却不这么认为。他并不觉得自己比别人更有天赋。他的非凡创造力并非来源于此“这种力量绝不是非凡的‘天赋’—— 一种超常或许可以称之为脑力。(……)这样的天赋固然宝贵对于那些像我一样生来没有这种天赋的人无疑是令人羡慕的。”格罗滕迪克给出了一种完全不同的解释“研究人员的创造力和想象力的质量取决于他倾听事物之声时注意力的质量。”你看我们又回到了第 1 章开头爱因斯坦的那句话“我没有特别的天赋只有强烈的好奇心。”但格罗滕迪克不止于此。当然他知道自己这么说没有人会相信因为这样的言论从未被认真对待过“当你敢表达这样的观点时你会从每个人——无论是确信自己愚钝无比的人还是自认聪明绝顶的人——脸上看到同样的笑容既有些尴尬又有些心照不宣就像有人刚刚开了一个有点儿过分的玩笑。”爱因斯坦以爱开玩笑而著称。但如果是格罗滕迪克你大可以放心他从不开玩笑。遗憾的是我们永远无法与爱因斯坦进行这样的对话他本可以向我们揭开他的创造力的秘密回答我们的问题并详细解释他究竟是如何做到的。至于格罗滕迪克他就这个主题写了一本千页巨著。他详细描述了自己在研究数学时脑海中发生了什么。他承认如果无法在脑海中构建出正确的图像他就完全无法阅读任何数学书哪怕是最简单的书。他还承认自己在讲座中跟不上思路因为对他来说演讲者讲得总是太快了。他解释了自己如何应对那种一无所知的感觉。最重要的是他解释了自己究竟是从哪里获得乐趣的。这部非凡著作名为《收获与播种》Récoltes et semailles其手稿长期以来一直没有出版秘密地流传了35年之久直到2021年才在法国正式出版。无与伦比的见证“在我的工作中起主导作用的正是在工作过程中形成的心理图像用于理解数学事物的真实情况它也是我的工作的灵魂和存在意义。““我一生都无法阅读数学文章哪怕它十分浅显或简单除非我能根据自己对数学事物的经验给文章赋予‘意义’也就是说除非这篇文章能在我脑海中激发心理图像和直觉使其生动起来。”上述两段话均摘自《收获与播种》。格罗滕迪克的这部著作就像长篇独白引人入胜却令人困惑采用了一种预言般的口吻。不过我实在不推荐你阅读这本书。别怪我没有提醒你这部作品庞杂、冗长、艰涩时而精彩绝伦时而含糊不清其中穿插着大量隐喻和寓言页脚散布着各种注释和参考就连这些注释和参考也有自己的注释和参考。在数百页的篇幅中他沉浸在个人的恩怨与无端的指责之中坦率来讲这些内容简直难以卒读。这部作品只应面向数学圈内人可就算圈内人也很难坚持到底。然而人们一致认为《收获与播种》是有史以来关于数学体验最无与伦比的见证。和我的许多数学家朋友一样我在其中发现了众多精彩绝伦、清晰准确的段落。我不止一次在阅读时停下来对自己说“他是对的。确实如此。这就是真正的秘密。这正是脑海里发生的事情。这些心理活动看似不经意却没人想得到正是通过这些简单的心理活动我们才变得擅长数学。我从未读过如此重要的内容。我应该把格罗滕迪克讲述的故事解释给所有人听。”然而我意识到格罗滕迪克原本的思想过于高深莫测除了一小撮专业人士没有人听得懂。最终这有点儿像爱因斯坦的那个问题。我们没有机会与他直接进行坦诚的对话也没有机会向他请教几个简单的问题。格罗滕迪克比爱因斯坦走得更远给我们留下了令人难以置信的细节。但为了理解他的见证我们必须将他与我们的共同体验联系起来。《收获与播种》是一部高远却深奥的作品超前于他的时代当时的人们还没准备好接收这一信息更何况作者如此离群索居。我从阅读中得到了与我的自身经历产生共鸣的内容在与你分享这些收获之前我必须先给你讲一讲关于格罗滕迪克的一生与其非凡个性的故事。一个野孩子1928 年亚历山大·格罗滕迪克图7.2出生于德国柏林。他的父母是无政府主义活动家为了逃离纳粹政权而踏上流亡之路。1933年当格罗滕迪克5岁时母亲把他托付给德国汉堡的路德教会牧师威廉·海多恩Willhelm Heydorn一家。在此之前他的父母似乎秉承无政府主义的原则让格罗滕迪克接受了不同寻常的教育。他的养母达格玛·海多恩Dagmar Heydorn第一次见到他时形容他是一个脏兮兮的野孩子不懂得什么是约束。汉卡·格罗滕迪克Hanka Grothendieck在把儿子交给达格玛时要求永远不要送他上学也不要给他剪头发。图7.2海多恩一家还是给他剪了头发并送他去上学。这也许是他一生中唯一一段平静且“正常”的时期。格罗滕迪克一生都与养父母保持着深厚的感情。1939年4月由于担心格罗滕迪克的安全他的父亲是犹太人海多恩一家把他送上了前往法国巴黎的火车让他与正在流亡的父母团聚。他的父亲不久后被捕并于1942年在奥斯威辛集中营去世。1940年起格罗滕迪克和他的母亲生活在法国南部的难民营里。接下来的故事就像一部老套的好莱坞电影在战后的法国难民母子靠做家务和采摘葡萄勉强度日。格罗滕迪克在与世隔绝的环境中逐渐显露出对数学的天赋。一位教授注意到了这位年轻的学生并向数学家埃利·嘉当(Élie Cartan写了一封推荐信。1948年20岁的格罗滕迪克前往巴黎在那里结识了当时一些最伟大的数学家。其中一位数学家【这位数学家是彼时即将获得菲尔兹奖的洛朗·施瓦茨Laurent Schwartz。——译者注】让格罗滕迪克阅读了自己最新的论文文章结尾列出了14个未解决的重要问题。一个有志向的学生可以从这个清单中挖掘出一个相当好的论文主题选择一个问题花上三年来思考在导师的帮助下部分解决该问题人人都能皆大欢喜。而格罗滕迪克闷头工作几个月结果把这14个问题全都解决了。1970年以前格罗滕迪克从一个默默无名的难民逐渐攀爬到了世界科学的巅峰。他成了最伟大、最顶尖的数学家他工作得比其他人都努力甚至成立了一个以他为中心的研究所。1966年格罗滕迪克被授予菲尔兹奖但与他取得的其他成就相比这都算不上什么。格罗滕迪克和他的学生们彼时正投身于一项艰巨而富有远见的任务——从根本上重建代数几何学这项工作至今仍是大部分数学研究的基础。但在1970年42岁的格罗滕迪克突然中断了他的科学生涯辞去了以他为中心的研究所的职务开启了他人生的新篇章致力于斗争运动和激进的环保运动。20世纪80年代中期也就是中断科学生涯大约15年后他写下了《收获与播种》。他的初衷是传达一个重要的信息因此想为广大公众写一本书。在2010年的一封信中他承认自己没有完全实现这一目标“这份关于我的数学家生涯的反思与见证尽管我承认它难以阅读但对我来说意义重大。”从1991年到2014年去世格罗滕迪克一直离群索居。他隐居在法国南部比利牛斯山脚下的阿列日省的小村庄拉塞尔在那里修行冥想过着极度孤独和苦行僧般的生活。他甚至试着只靠蒲公英汤来维持生命。格罗滕迪克从未停止写作。他去世后留下了大量数学、哲学和神秘主义的笔记其中似乎包括长达三万页的关于“恶的问题”的思考。独自倾听万物“发现是孩子的特权。我说的是年幼的孩子他们还不怕犯错不怕显得愚蠢不故作严肃不亦步亦趋也不怕他们看到的东西与自己的期望、与应有的模样不同。”《收获与播种》中的这段话我们好像听过无数次了但事实显然并非如此。小孩子又不是大科学家。即使这段话是对的对我们又有什么用呢毕竟我们再也不是小孩子了。格罗滕迪克显然用了一个隐喻。他指的是存在于“我们内心” “已经与我们失去联系”的孩子。在《收获与播种》的开头他就对读者说道“我想与你心中那个懂得独处的孩子对话而不是其他人。”格罗滕迪克的非凡创造力源自他与“内心”的孩子保持亲近 “在我内心出于一些我还没探究过的原因某种天真得以存留下来。”他将此描述为“孤独的天赋”即一种让自己“独自倾听万物并全神贯注于孩童的游戏”的能力。“探索和发现也就是提问和倾听是世界上最简单、最自发的事情任何人都不能独占这份权利。这是我们所有人在摇篮中就收到的一份‘礼物’。”无论人们如何看待格罗滕迪克如何觉得他离奇古怪以及他对怪异之事有多痴迷我们都应该努力深入理解他。他是最适合与我们谈论这些话题的人。《收获与播种》有时就像一本瑜伽手册而且从某种程度上说它就是一本瑜伽手册。在隐喻和个人逸事的背后这本书描述了一种特定的身体姿态、一种特别的心态、 一种与语言和真理不同寻常的关系。格罗滕迪克是一位伟大的瑜伽修行者他发明了自己独特的冥想技巧。这种技巧的核心在于寻找纯粹的好奇心不在乎他人对自己的评判我们可以称之为“孩童的姿态”。我对我的陈述半信半疑翻开一本你完全不懂的数学书就好像坐在飞机的驾驶舱或者核电站的控制室里你眼前有很多按钮和仪表盘但你完全不知道应该怎么用也不敢轻举妄动。你很想理解它们是怎么运作的但你不理解。正常的反应是坐在那里什么也别碰。在动手之前你得先学习和思考。然而如果你把一个两岁的孩子放在驾驶舱里他的反应会有所不同。他会从红色的或闪烁的按钮开始把所有按钮按个遍。格罗滕迪克建议我们应该像两岁的孩子一样。当他想理解某件事时就会像孩子一样毫不犹豫地勇往直前不会等到理解之后才开始行动。他做起事来不假思索有点儿凭感觉。“当我对一件事物——无论是数学事物还是其他事物——感到好奇时我都会去探究从不担心自己的问题是否愚蠢也不担心是否经过深思熟虑。”“问题通常以陈述的形式出现——实际上是一种试探性的陈述。我对我的陈述半信半疑。““特别是在研究的初期陈述常常是彻头彻尾的错误——但还是要先提出来才能确信它是错误的。”尽管如此我们还是要弄清楚格罗滕迪克所说的探究、提出问题和试探是什么意思。在书中格罗滕迪克将数学工作描述为一系列具体的身体活动。然而探究事物究竟是什么意思如果我想“探究”事物我该怎么做仔细想想这个表达非常神秘和格罗滕迪克常说的“倾听事物的声音”一样难以理解。既然谈到这里了那么什么是“数学事物”我们能在哪里找到这些事物又该如何与它们建立联系格罗滕迪克从未费心去准确解释毫无疑问这是因为他太习惯与这些事物对话了以至于忘记了自己也曾学习过如何进行这样的对话。数学事物就是非数学家口中的数学概念或数学抽象它们可以是数、集合、空间、不同的几何形状或其他类型的抽象结构。数学家则喜欢把它们称为数学对象因为将这些事物想象成摸得到的具体对象更容易理解。“探究事物”“倾听事物的声音”意味着尝试想象它们审视脑海中形成的心理图像试着使这些图像更具体、更清晰努力揭示更多的细节就像努力回忆一个梦一样。犯错的乐趣我们需要将这种方法转化为具体的语言。《收获与播种》中的语言十分形象人们可能会因此认为保持模糊是有意为之的选择。这种印象是错误的。格罗滕迪克力求精确。他那令人费解的用词是用来解决一个实际问题的他描述了我们在脑海中执行的动作和处理的心理图像但我们的日常语言中缺少恰当的词语。我们没有特定的词汇来直接描述这些动作和图像。甚至没有人告诉我们我们有权谈论它们。“孩童的姿态”不是一个比喻而正是一种心态。基本原则虽然简单却具有革命性。这种想法几乎没有人想到因为它太简单了与我们的本能相悖。但正是这种想法有可能改变数学学习的各个层面哪怕是对于零基础初学者和所谓数学差生也不例外。当遇到一个新的数学概念时我们很难将它想象出来。它以抽象定义的形式出现在我们眼前是书上的一组词语或老师所说的一段话语。这一串词语对我们来说毫无意义无法激发任何联想。学生通常觉得没有权利想象自己还不理解的数学对象。在他们看来在敢于“看到”之前还需要了解更多。与此同时他们满足于逐字逐句地解读。他们可能什么都不理解可能会感到头疼但他们告诉自己只要坚持下去就能收集到最重要的信息只要努力记住这些信息就有可能理解其中的含义。但这种方法行不通。格罗滕迪克的做法不同。他知道积累关于自己还无法“看到”的事物的信息毫无意义。相反他允许自己不假思索地立即想象这些事物哪怕他明知道自己做不到或者他的想象方式错得离谱。他从不怕犯错甚至确信自己会犯错而这正是他的追求。格罗滕迪克积极地寻找错误就像小孩子总爱搞恶作剧一样。在探索数学世界的过程中每当他发现一些奇怪或引人入胜、不清楚或令人不满意、不一致或令人不快的事情时他都会朝着这个方向继续深入探究。当他对世界的看法出现不对劲的地方时他就会感到不安。他四处寻找这种不安的根源因为这是让他平息不安的唯一方法。发现错误会给他带来乐趣和宽慰。在那个还可以自由地提出愚蠢问题甚至同一个问题问一百遍的年纪没有人讨厌数学。伟大的数学家发明并采用了特殊的技巧来重拾这种孩童的天真。一个关于可塑性的故事格罗滕迪克谈到的“我们心中的错误”与逻辑无关。这种错误不是计算错误也不是推理错误。格罗滕迪克所说的错误是直觉错误是视觉错误我们对事物构建的图像并不正确。正如我们将在本书中一再看到的只有逐渐改变表征事物的方式使其更清晰、更准确、更接近现实我们才能实现对数学的理解。有人说大脑的两个半球的功能有所不同。左脑负责逻辑推理和计算而右脑负责联想和直觉推理。这种解剖学的荒谬解释可以追溯到 20 世纪 60 年代并早已被推翻。事实上人类大脑的两个半球非常相似从深层次上看两者都具备联想和直觉的功能。能够让你凭借逻辑理解世界的器官并不存在。如果你指望这种器官帮你在数学上取得进步那可有得等了。我们惊人的学习和发明能力源于不断更新图像和感觉的关联网络的无意识能力从字面和比喻的意义上讲这一网络构成了我们思想的真实结构。我们的所有重大学习成果都与这种心理可塑性有关。错误在其中起着至关重要的作用因为它是心理可塑性的驱动力。学习看、走路、用勺子、系鞋带、说话、读写都是在更新你的大脑。这些事情从来都不是一蹴而就的。孩子们只有在尝试并经历失败之后才能学会走路。他们总要跌倒过才能学会站起来。正是通过积累错误他们才逐渐发展出了直觉般的平衡感。就像运动技能的学习一样理解新的数学概念需要对直觉进行更新这需要一个“摸索”的阶段。如果用学习走路的例子来重新阐释格罗滕迪克关于犯错的那番话就令人豁然开朗了。“害怕摔倒和害怕走路是一回事。害怕摔倒的人无法学会走路。如果我们一直坐着不动最初的笨拙最后会变成无法克服的运动障碍。”逻辑的作用在心理图像的世界里物理定律并不适用。我们可以想象任何事情甚至是自相矛盾的事情而不会栽跟头。我们心中的错误可能像巨石一样难以撼动可我们甚至都没有意识到这一点。正是在这里数学方法与我们通常使用直觉的方式产生了分歧。数学家发明了一种方法使我们能够发现自己心中的错误。这种方法依赖于写作更准确地说依赖于以数学官方语言来书写这种语言建立在逻辑形式主义之上。逻辑不是用来思考的但能帮助你发现思考中哪里出错了。当格罗滕迪克伸出“探针”来探究他想理解的对象时正是写作给了他答案。“通常你只需要写下来就能发现其中的错误而在写下来之前你只有一种模糊的、不好的感觉而不是确凿的证据。“”现在我们可以在减少一些无知的情况下重新尝试提出的问题或陈述可能会更贴近正题。”与生物学家在完成实验之后才撰写论文不同数学家在研究过程中就着手写作因为写作本身就是研究工作的一部分。以下是格罗滕迪克对此的看法。“写作不是用来记录研究结果的而是用来记录研究过程的。”“我总是尽力一丝不苟地用数学语言描述这些图像及其带来的理解。”“在这种不断努力阐明无法表达的东西、定义尚不清楚的东西的过程中可能蕴含着数学工作也许还有其他所有创造性智力工作特有的动力。”数学写作将一种鲜活的但模糊、不稳定且非语言的直觉转化成精确、稳定的却像化石一样死板的文本。如果直觉从一开始就是准确无误的那么写作就只是一种简单的记录工作。然而直觉从来都不是一开始就准确无误的。起初它是模糊、错误的而且始终带有此特性。在写作的过程中直觉逐渐变得清晰错误越来越少。这个过程是缓慢且循序渐进的。数学创造是在想象力看到事物与语言表达将看到的事物写下来之间不断循环往复的过程。这一过程同时改变了我们的直觉和语言。我们在学会看的同时也学会了说话。我们学会了想象新事物并发明了一种语言来命名它们用格罗滕迪克的话来说这个过程相当于“让无形的迷雾从一片虚空中凝聚而出”。这项工作的结果体现为两种不同的形式。第一种是无形的即从事这项工作的人对世界的理解和意识状态的改变。第二种则是数学文本。格罗滕迪克知道第二种形式作为印刷品是唯一看得见且可以展示的成果。但这不是他写作的动机。对他来说“理解数学事物的核心并不在此”。惹人厌的梁龙在下一章中我们将看到数学语言的独特性如何使其成为一种绝妙的思维澄清工具。但在本章结束之前我们再来谈谈一开始的那个谜团1956年11月 13日28岁的格罗滕迪克给塞尔写了一封信漫不经心地告诉他自己刚刚完成了一篇“荒谬文章”。就在17个月前即1955年6月格罗滕迪克曾给塞尔写信与他分享了自己初步的笔记。格罗滕迪克正处于发现的初期阶段语气充满热情。他在探究过程中犯了不少错误但也取得了迅速的进步。那时他还把笔记中的某些部分称为“没孵出的蛋”这些“蛋”可能会“孵出怪物”。在接下来的一年里格罗滕迪克“孵”着这些“蛋”看着它们破壳而出耐心喂养从中孵化出来的奇怪生物。随着手稿内容丰富、结构成型塞尔和格罗滕迪克在谈论它时越来越随意甚至给它起了一个绰号梁龙diplodocus。伟大的思想已经成型。发现的乐趣、终于理解的喜悦正在逐渐消退。惊喜越来越少。剩下要做的只是进行完善工作、填补技术细节以及使其符合数学官方语言的规范要求。在最后几个月里写作变成了一种折磨。格罗滕迪克担心没有人愿意发表他那“惹人厌的梁龙”。他最终选择了日本的《东北数学杂志》因为“他们似乎不会排斥长篇大论的文章”。在1956年11月13日的信中格罗滕迪克甚至为此道歉。他可能创造了一个怪物但他别无选择“这是我坚持下来理解事物如何运作的唯一方法。“推荐阅读《数学觉醒学会更清晰地思考》作者[法]戴维·贝西David Bessis译者赵晓蕊菲尔兹奖得主陶哲轩、雨果·杜米尼强推《欢乐数学》作者本·奥林、《微积分的力量》作者史蒂夫·斯托加茨、《数学的逻辑》作者郑乐隽、数学巨匠伊恩·斯图尔特等诚挚推荐打动全球顶级数学家的奇书全书没有一个公式却讲透数学思维这一高级“软实力”让数学帮我们培养清晰思考的能力塑造认知和思维掌握真正有用的学习能力。作者[法] 米卡埃尔•洛奈Mickaël Launay译者欧瑜惊讶是思考的起点数学是理解世界本质与万物关联的工具以数学为起点以思考为快乐法国数学学会“达朗贝尔奖”得主科普名作。数学是理解世界本质与万物关联的工具它能制造两个指南针一个叫“实用”一个叫“优雅”。不懂得数学的意义就无法真正学习和理解数学。科学家为什么那么聪明因为他们有非凡的思考方法。以数学为工具以思考为快乐培养自己的思考力、观察力成为真正的思考者。